Покажите путь лесника на плане, масштаб которого 1:10 000, если он прошел от дома лесника на юг 700 метров, потом повернул на запад и прошел 400 метров, затем на север и прошел в этом направлении 350 метров. Определите азимут и расстояние от последней точки к дому лесника.
Для решения задачи определим путь лесника и найдем азимут и расстояние от его последней точки до дома.
На плане с масштабом 1:10 000, где 1 см соответствует 100 м в реальности, лесник прошел следующий маршрут:
Первый отрезок: От дома лесника на юг 700 метров.
На плане это будет 700 м / 100 м = 7 см вниз от начальной точки.
Второй отрезок: Затем он повернул на запад и прошел 400 метров.
На плане это будет 400 м / 100 м = 4 см влево.
Третий отрезок: После этого лесник повернул на север и прошел 350 метров.
На плане это будет 350 м / 100 м = 3,5 см вверх.
Теперь определим конечное положение лесника относительно его дома.
Возьмем начальную точку (дом лесника) за начало координат ( (0; 0) ). Результат движения лесника будет таким:
Итак, конечные координаты лесника на плане: ( (-4; -3,5) ).
Расстояние между двумя точками ( (x_1, y_1) ) и ( (x_2, y_2) ) вычисляется по формуле: [ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}. ] Подставляем координаты ( (0; 0) ) и ( (-4; -3,5) ): [ d = \sqrt{(-4 - 0)^2 + (-3,5 - 0)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-3,5)^2} = \sqrt{16 + 12,25} = \sqrt{28,25}. ] [ d \approx 5,31 \, \text{см на плане}. ] В реальности это расстояние составит: [ 5,31 \times 100 = 531 \, \text{метр}. ]
Азимут — это угол между направлением на север (0°) и направлением на объект, измеряемый по часовой стрелке. Рассчитаем угол по координатам ( (-4; -3,5) ).
Определим угол относительно оси ( x ) по формуле: [ \tan \phi = \frac{|y|}{|x|}, \quad \phi = \arctan\left(\frac{3,5}{4}\right). ] [ \phi = \arctan(0,875) \approx 41,19^\circ. ]
Так как точка ( (-4; -3,5) ) находится в третьей четверти (лево-низ), добавляем ( 180^\circ ) к углу: [ \text{Азимут} = 180^\circ + 41,19^\circ = 221,19^\circ. ]
Давайте разберем путь лесника и определим его местоположение на плане с масштабом 1:10 000.
Первый участок пути: движение на юг 700 метров.
Второй участок пути: движение на запад 400 метров.
Третий участок пути: движение на север 350 метров.
Теперь, давайте определим конечное положение лесника относительно его дома.
Теперь мы имеем координаты конечной точки лесника: (-400, -350).
Чтобы найти расстояние от конечной точки до дома лесника, мы используем формулу для вычисления расстояния между двумя точками в декартовой системе координат:
[ D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} ]
где ((x_1, y_1)) — координаты дома лесника (0, 0), а ((x_2, y_2)) — координаты конечной точки (-400, -350).
Подставляем значения:
[ D = \sqrt{(-400 - 0)^2 + (-350 - 0)^2} = \sqrt{(-400)^2 + (-350)^2} ] [ D = \sqrt{160000 + 122500} = \sqrt{282500} \approx 531.88 \text{ метров} ]
Азимут — это угол между направлением на север и направлением на объект, измеряемый по часовой стрелке. Чтобы рассчитать азимут от дома лесника до конечной точки, можно использовать тригонометрические функции:
Определим углы:
Используем тангенс для вычисления угла:
[ \tan(\phi) = \frac{350}{400} ] [ \phi = \arctan\left(\frac{350}{400}\right) \approx 0.6747 \text{ радиан} \approx 38.66^\circ ]
Так как конечная точка находится в третьем квадранте (северо-запад) и азимут измеряется от севера по часовой стрелке, то:
[ \text{Азимут} = 180^\circ + \phi \approx 180^\circ + 38.66^\circ \approx 218.66^\circ ]
Таким образом, лесник прошел 700 метров на юг, 400 метров на запад и 350 метров на север. Расстояние от последней точки до дома лесника составляет приблизительно 531.88 метров, а азимут к дому лесника равен примерно 218.66°.
